◆◇学習の要点◇◆
直線と角 ☞P117〜
⑴ 直線・線分・半直線
① 直線
② 線分
③ 半直線
⑵ 図形と記号 ① 三角形 ABC ➡ △ABC ② 角 BAC ➡ ∠BAC
③ 直線¬，mが平行 ➡ ¬™m ④ 直線 PQ，RS が垂直 ➡ PQ_RS
⑶ 弧と弦・接線
① 弧と弦…円周上の点Aから点Bまでの曲線部分を 弧 AB(A
⌒
B)，線分 AB を弦 AB という。② 接線…直線¬と円Oが点Aで接するとき，直線¬を円Oの点Aにおける接線， 点Aを接点という。接線は，接点と円の中心を結ぶ半径に垂直(¬⊥OA)。
図形の移動 ☞P 122〜
△ABCを 平行移動させたもの
△ABCを 直線¬を軸と して対称移動 させたもの
△ABCを 点Oを中心と して回転移動 させたもの
① 平行移動 ② 対称移動 ③ 回転移動
A ¬ D
C F B
A C B
D
F
E B
C
A O D E F
E
作図 ☞P 126〜
定規とコンパスを使って，次のような直線をかくことができる。
おうぎ形 ☞P 137〜
円を2つの半径で区切った図形をおうぎ形という。右のおうぎ形 OAB の 半径をr，中心角を a °，弧の長さを¬，面積をSとすると，
1
2
3
定規は直線をひくことだけに使う
4
O中心角 B 点A，Bを通り，
限りなくのびて いる直線 直線AB
A B
線分ABをBの 側へ限りなく のばしたもの 半直線AB
A B
m
¬
①，② ③ ④ R
Q P
S
B C
A 直線ABのうち，
AからBまでの 部分 点A，B間の距離 線分AB
A B
線分BAをAの 側へ限りなく のばしたもの 半直線BA
A B
５
章
平面図形
5 章
学習の基本 1 作図のしかた
① コンパスを使って，円や円の一部をかくことができる。
円は，ある 1 点からの距離が一定であるような点の集合である。
② 定規とコンパスのみを用いて図をかくことを作図という。
・定規
直線をひくために使う。直線は 2 点で決まるので，ある 2 点 を通る直線を，定規を使ってひくことができる。
・コンパス
ある点を中心とする円をかくために使う。等しい長さをとっ たり，線分を移したりすることができる。
1
3つの辺 AB，BC，CA が，図に示された長さとなるような ABC を，それぞれ作図せよ。⑴ A B □⑵
B C
C A
A B
B C
C A
2
右の図で，点Oを頂点とする 60°の角を作図せよ。□
O
➡今後作図というときは， 目もりを使って長さを測ったり， 分度器で角の大きさを測ったりすることはしない。 O
作図
▼チェック問題 扌 P 1363
3
線分 AB の垂直二等分線を作図せよ。⑴ □⑵
4
右の図で，線分 AB を4等分する点P，Q， Rを作図せよ。（左から順にP，Q，Rとせよ）□
5
右の図の ABC で，辺 AB，AC の中点 M ，N を それぞれ作図し，線分 MN をかけ。学習の基本 2 垂直二等分線の作図
線分の中点を通り，その線分に垂直な直線を垂直二等分線という。 線分 AB の垂直二等分線をひく。
① 線分の両端の点A，Bをそれぞれ中心として，等しい半径の円を かく。
② この2円の交点をP，Qとして，直線 PQ をひく。この直線 PQ が 線分 AB の垂直二等分線である。
➡線分の両端の点を中心とする円をかくときの半径は， 線分の長さの半分よりもやや長くするとよい。
学習の基本 3 角の二等分線の作図
1つの角を2等分する半直線を角の二等分線という。
∠XOY の二等分線をひく。
① ∠XOY の頂点Oを中心とする円をかき，角の2辺 OX，OY との交点をA，B とする。
② 2点A，Bをそれぞれ中心として，等しい半径の円をかき， その交点をPとする。
③ 半直線 OP をひく。この半直線 OP は∠XOY の二等分線である。
8
右の図で，∠AOC の二等分線 OP，および，∠BOC の二等分線 OQ をそれぞれひけ。また，∠POQ の大きさ は何度か。7
右の図で，∠AOB を4等分せよ。□
6
∠AOB の二等分線を作図せよ。⑴ □⑵
□⑶ ⑷
➡ 90°より大きい角の二等分線も， 同じように作図できる。
学習の基本 4 垂直二等分線の性質の利用
線分 AB の垂直二等分線上の点は，2 点A，Bから等距離にある。 このことを利用して，2 点から等距離にある点を，作図によって 求めることができる。
9
次の図のように，直線¬と2点A，Bが与えられたとき，直線¬上にあって，2 点A，B からの距離が等しい点Pを作図せよ。⑴ □⑵
11
右の図のように，線分 AB とその両端から出る半直 線 AD，BC がある。このとき，線分 AB，半直線 BC， AD までの距離が等しい点Oを作図せよ。□
学習の基本 5 角の二等分線の性質の利用
∠XOY の二等分線上の点は，角の2辺 OX，OY から等距離にある。 このことを利用して，2 つの直線や線分までの距離が等しい点を，作 図によって求めることができる。
10
右の図の ABC で，辺 AC 上にあって，辺 AB， BC までの距離が等しい点Pを作図せよ。➡ 2 点 A， B は， 線分 AB の垂直二等分線について対称になっている。
➡角の2辺 OX， OY に接する円の中心は， ∠XOY の二等分線上にある。
O Y
X
14
右の図の ABC について，次の問いに答えよ。□⑴ 3つの頂点A，B，Cから，それに向かい合った辺に それぞれ垂線をひけ。
□⑵ ⑴から，どんなことがわかるか。
13
次の図で ABC の底辺を辺 BC としたとき，頂点Aを通り，高さを表す線分 AH をそれ ぞれ作図せよ。⑴ □⑵
学習の基本 6 垂線の作図
直線¬上の点Oを通り，直線¬に垂直な直線をひく。
① 点Oを中心とする円をかき，直線¬との交点をA，Bと する。
② 点A，Bをそれぞれ中心として，等しい半径の円をかき， その交点の1つをPとする。
③ 直線 OP をひく。
このとき，直線 OP は直線¬に垂直な直線である。
直線¬上にない点Pを通り，直線¬に垂直な直線をひく。
① 点Pを中心とする円をかき，直線¬との交点をA，Bと する。
② 点A，Bをそれぞれ中心として，等しい半径の円をかき， その交点の1つをQとする。
③ 直線 PQ をひく。
このとき，直線 PQ は直線¬に垂直な直線である。
12
点Pを通る直線¬の垂線を作図せよ。⑴ ⑵ □⑶
➡直線上の点を通る垂線の作図は， 180° の角の二等分線の作図と考えることもできる。
16
右の図の線分 AB を 1 辺とし，∠C＝90° である 直角二等辺三角形 ABC を作図せよ。ただし，頂点Cは線分 AB の上側にあるものとする。
□
17
右の図の線分 AB について，次の問いに答えよ。 ⑴ 線分 AB を1辺とする正三角形 ABC を作図せよ。 ただし，頂点Cは線分 AB の上側にあるものとする。 ⑵ ⑴を利用して，30° の角を作図せよ。18
右の図の直線 AB について，次の問いに答えよ。□⑴ 線分 AB を1辺とする正三角形 ABC と，点B を通り，直線 AB に垂直な半直線 BD を作図せよ。 ただし，頂点C，点Dは直線 AB の上側にある ものとする。
□⑵ ⑴を利用して，∠CBE＝75° となるような半直
★
学習の基本 7 角の作図
問題 垂線や角の二等分線の作図を利用して，90° の角，45° の角をそれぞれ作図せよ。 解 90° の角は，右の図のように，直線¬上に点Oをとり，点Oを通り，
直線¬に垂直な直線を作図すれば求められる。
45° の角は，90° の半分の大きさだから，90° の角の二等分線を作図 すれば求められる。
答 右の図
15
次の角を作図せよ。□⑴ 90° ⑵ 45° □⑶ 225°
➡ 90° や 60° の作図や角の二等分線の作図を組み合わせれば， いろいろな大きさの角をつくることができる。
学習の基本 8 円と作図
問題 3点A，B，Cを通る円Oを作図せよ。
解 円がかけたとすると，半径だから，OA＝OB＝OC である。 OA＝OB より，点Oは線分 AB の垂直二等分線上にある。 また，OB＝OC より，点Oは線分 BC の垂直二等分線上にある。
したがって，線分 AB と線分 BC の垂直二等分線の交点をO とし，点Oを中心として，半径 OA の円をかく。
答 右の図
19
右の図の3点A，B，Cを通る円Oを作図せよ。A
B
C
23
右の図で，中心が線分 AB 上にあり，半直線 OX， OY に接する円を作図せよ。□
★ Y
O X
B
20
右の図で，中心Oが直線¬上にあり，2 点A，B を通る円Oを作図せよ。□
21
右の図で，点Pを通る円Oの接線を作図せよ。22
右の図で，点Aで直線¬に接し，点Bを通る円O を作図せよ。★
□
➡ 2 点 A， B を通る円の中心は線分 AB の垂直二等分線上， 角の 2 辺に接する円の中心はその角の二等分線上にある。
25
右の図のような五角形 ABCDE の形をした紙がある。 四角形 ACDE の部分を，対角線 AC を折り目として折 ったときの状態を作図せよ。□
26
右の図で，直線¬上に点Pをとり，AP＋BP の長さが もっとも短くなるようにしたい。点Pを作図せよ。★
□
学習の基本 9 対称と作図
問題 右の図のように，点Pと直線¬があるとき，点Pと直線
¬について対称な点Qを作図せよ。 解 次のように作図すればよい。
① 点Pを通る直線¬の垂線をひき，直線¬との交点をとる。 ② その点を中心として，点Pを通る円をかき，垂線との交
点をQとする。 答 右の図
別解 次のような方法もある。
① 直線¬上に適当な2点をとる。
② それらの2点を中心とし，点Pを通る円をそれぞれかく。 ③ ②の2つの円の交点のうち，Pでない方をQとする。
24
次の問いに答えよ。□⑴ 点Pと直線¬について対称な点を作 ⑵ 図せよ。
直線¬を対称の軸とする線対称な図形 を完成させよ。
➡2点PとQが直線¬について対称であるとき， 点Rを直線¬上にとると， PR＝QR となっている。
28
次の問いに答えよ。□⑴ 下の図1で，線分 PQ は，線分 AB を回転移動したものである。このとき，回転の中心 Oを作図せよ。ただし，点Aと点P，点Bと点Qが対応するものとする。
⑵ 下の図2で， PQR は， ABC を回転移動したものである。このとき，回転の中心O を作図せよ。
図1 図2
29
右の図の点Qは，点Pを直線¬上の1点Oを中心として回 転移動したものである。点Oを作図せよ。□
学習の基本 10 移動と作図
問題 右の図の線分 PQ は，線分 AB を対称移動したものである。 このとき，対称の軸を作図せよ。
解 対称の軸は，対応する2点を結ぶ線分の垂直二等分線である。 したがって，点Aと点P（または，点Bと点Q）を結ぶ線分の 垂直二等分線を作図すればよい。
答 右の図
27
下の図⑴，⑵で，右の図形は，左の図形を対称移動したものである。それぞれの図におい て対称の軸を作図せよ。□⑴ ⑵
➡回転移動したときの回転の中心は， 対応する2点を結ぶ線分の垂直二等分線上にある。
研究セミナー 1 三角形の外接円
① 三角形の 3 つの頂点を通る円を，その三角形の外接円という。
② 外接円の中心を外心という。
③ 外心は，三角形の 3 つの頂点から等しい距離にある点であり， その距離が外接円の半径である。
ABC で，辺 AB，BC の垂直二等分線の交点をOとすると OA＝OB＝OC となるので，点Oは辺 CA の垂直二等分線上の点 でもある。すなわち，三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わ り，その点が外心となる。
★★
問題１ 次の三角形の外接円をそれぞれ作図せよ。
□⑴ □⑵
★★
問題２ 右の三角形の内接円を作図せよ。
★★
□
研究セミナー 2 三角形の内接円
① 三角形の内部にあり，3 つの辺に接する円を，その三角形の 内接円という。
② 内接円の中心を内心という。
③ 内心は，三角形の 3 辺までの距離（辺にひいた垂線の長さ）が すべて等しい点であり，その距離が内接円の半径である。 ABC で，∠A，∠B の二等分線の交点をIとする。点Iは AB，BC，CA から等しい距離にあるので，点Iは∠C の二等 分線上の点でもある。すなわち，三角形の 3 つの角の二等分線 は 1 点で交わり，その点が内心となる。
★★
A
B C
I A
O
B C
レベル１
1 1
右の図の ABC で，2 頂点A，Bから等しい距離にあ って，しかも，2 辺 AB，AC からも等しい距離にある点Pを作図せよ。 ➡学
2～5
2
2
右の図の台形 ABCD で，頂点Aを通り，高さを表す線 分を作図せよ。□ ➡学
6
レベル２
5 5
右の図のように，線分 AB 上に点Cがある。この とき，線分 AC を1辺とし，∠ACD＝120°， AC＝DC となる二等辺三角形 ACD を，線分 AB の上側に作図せよ。
□
6
6
右の図で，半直線 OA と接し，さらに，半直線 OB と 点Pで接する円を作図せよ。3
3
右の図のような四角形 ABCD の形をした紙がある。 ADC の部分を，対角線 AC を折り目として折ったときの状態を作図 せよ。□
➡学
9
4 4
右の図で，線分 PQ は線分 AB を対称移動したものである。 このとき，対称の軸¬を作図せよ。□ ➡学
10
チェック問題
3 作図1
平行と垂直 右の図の台形 ABCD で，点E，F，G，Hはそれ ぞれ辺と円Oとの接点である。次の問いに答えよ。⑴ 線分 OG と線分 OH の長さが等しいことを式で表せ。 ⑵ 辺 AD と辺 BC が平行であることを，記号を使って表せ。 ⑶ 線分 OG と辺 DC が垂直であることを，記号を使って表せ。
4
おうぎ形 次のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。⑴ ⑵
2
作図 次の作図をせよ。⑴ 線分 AB の垂直二等分線（図1） □⑵ ∠AOB の二等分線（図2）
⑶ 点Pを通り，直線¬に垂直な直線（図3）
3
図形の移動 右の図の DEF は， ABC を直線¬を 対称の軸として対称移動し，さらに点Fを中心として時 計まわりに 30° 回転移動したものである。ABC と DEF について，次の問いに答えよ。 ⑴ 点Aに対応する点をいえ。
⑵ 辺 AB に対応する辺をいえ。 ⑶ ∠DEF に対応する角をいえ。
⑷ ∠ACB＝58° のとき，∠A'FE の大きさを求めよ。
5 章の確認
1 1
右の図のような3直線¬，m ，n があるとき，直線n上に あり，2 直線¬，m からの距離が等しい点を作図せよ。★
5 5
右の図で， A'B'C は，∠B＝90° の直角三角形 ABC を 点Cを中心として 90° 回転移動したものである。AB＝8 cm，BC＝6 cm，CA＝10 cm のとき，次の問いに 答えよ。
□⑴ 辺 AB が通過してできる図形をかけ。
★★
4 4
次の図は，円と正方形を組み合わせたものである。影の部分の面積を求めよ。□⑴ □⑵
★
2
2
右の図で， ABC の辺 BC および，半直線 BP，CQ に 接する円を作図せよ。★
3
3
右の図のように，∠XOY の内部に点Aがある。辺 OX，OY 上にそれぞれ点B，Cをとり， ABC を作る。このとき，ABC の周の長さがもっとも短くなるようにするには，点B， Cをどのようにとればよいか。図にかいて示せ。
★★
□
